在数学领域中，三角函数是研究角度与边长之间关系的重要工具，广泛应用于几何学、物理学、工程学等多个领域。下面将详细介绍一些基本的三角函数公式，并通过几个实际例子展示这些公式的应用。

一、基本三角函数公式

1. 正弦函数（Sine, sin）：

\[

\sin(\alpha) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}

\]

2. 余弦函数（Cosine, cos）：

\[

\cos(\alpha) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}

\]

3. 正切函数（Tangent, tan）：

\[

\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}

\]

二、三角函数的和差公式

1. 正弦和角公式：

\[

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\]

2. 余弦和角公式：

\[

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\]

三、应用实例

假设我们需要计算一个高度为 5 米的旗杆在地面上的影子长度，当太阳光线与地面成 45 度角时。根据正切函数定义：

\[

\tan(45^\circ) = \frac{\text{旗杆的高度}}{\text{影子的长度}}

\]

由于 \(\tan(45^\circ) = 1\)，则影子的长度等于旗杆的高度，即 5 米。

通过以上公式及实例分析，我们可以看到三角函数不仅理论性强，而且在实际问题解决中具有广泛的应用价值。