在数学领域中，向量的运算有着丰富的几何意义和实际应用价值。当我们讨论两个向量之间的关系时，通常会涉及它们的模长以及方向等属性。本文将探讨这样一个问题：如果一个向量 \(\vec{a}\) 加上另一个向量 \(\vec{b}\) 的模长等于这两个向量相减后的模长，那么这两个向量之间究竟存在怎样的特殊联系？
首先，我们从定义出发来分析这一条件。假设 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 是平面上或空间中的任意两个向量，则有：
\[
|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|
\]
这里的 \(|\cdot|\) 表示向量的模长。
接下来，利用向量模长的性质进行推导。根据向量模长公式，可以写出：
\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}),
\]
\[
|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}).
\]
展开上述表达式后得到：
\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2,
\]
\[
|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2.
\]
由于题目给出 \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|\)，因此有：
\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2.
\]
代入上面两式并简化，得到：
\[
|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2.
\]
进一步化简可得：
\[
4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.
\]
这意味着：
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.
\]
由此可知，向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 必须相互垂直。换句话说，当且仅当 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 垂直时，才会满足题目所述的条件。
总结起来，在平面几何或者三维空间中，如果一个向量加上另一个向量的模等于这两个向量相减后的模，则这两个向量必然相互垂直。这种结论不仅在理论上有重要意义，而且在物理、工程等领域也有广泛的应用前景。
希望本文能够帮助大家更好地理解向量运算及其背后的数学原理！
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