在统计学中，回归分析是一种非常重要的工具，用于研究变量之间的关系。其中，相关系数 \( r \) 是衡量两个变量之间线性关系强度和方向的重要指标。它可以帮助我们判断数据点是否紧密地聚集在一条直线上。
相关系数 \( r \) 的计算公式如下：
\[
r = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}
\]
其中：
- \( n \) 表示样本数量；
- \( \sum x \) 和 \( \sum y \) 分别表示 \( x \) 和 \( y \) 的总和；
- \( \sum xy \) 表示 \( x \) 和 \( y \) 的乘积之和；
- \( \sum x^2 \) 和 \( \sum y^2 \) 分别表示 \( x \) 和 \( y \) 的平方和。
这个公式的分母部分确保了 \( r \) 值始终位于 -1 到 1 之间。当 \( r \) 接近于 1 或 -1 时，表明两个变量之间存在较强的正相关或负相关关系；而当 \( r \) 接近于 0 时，则意味着两个变量之间几乎没有线性关系。
通过使用上述公式，我们可以有效地评估回归模型的表现，并据此做出更加准确的数据预测。
