基础解系求出来的核心做法，是把齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵化成行最简形，找出自由变量，再让自由变量依次取单位赋值，例如让第一个参数为1、其余参数为0，让第二个参数为1、其余参数为0，接着代回主变量关系得到一组解向量，这些解向量就构成基础解系。这样得到的向量彼此独立，并且可以通过线性组合生成全部解，所以基础解系的作用就是给解空间搭出一套简洁、顺手、可用的坐标系。
先理解基础解系
| 概念 | 直白理解 | 作用 |
|---|---|---|
| 基础解系 | 一组代表全部解方向的解向量 | 用少量向量描述整个解空间 |
| 自由变量 | 在行最简形里可以独立赋值的变量 | 决定基础解系向量个数 |
| 主变量 | 由自由变量表示出来的变量 | 保证代回方程组成立 |
标准求法步骤
- 1、写出齐次线性方程组。
- 2、建立系数矩阵。
- 3、做初等行变换，化成行最简形。
- 4、标出主变量与自由变量。
- 5、计算自由变量个数：自由变量个数 = 变量总数 - 主变量个数。
- 6、把自由变量设为参数 t1、t2、...、tk。
- 7、用参数表示主变量，写出解向量。
- 8、对参数做单位赋值，分别得到 ξ1、ξ2、...、ξk。
- 9、把 ξ1、ξ2、...、ξk 写成基础解系。
- 10、通解写成 x = c1ξ1 + c2ξ2 + ... + ckξk。
示例演示
给定方程组：
```text
x1 - x2 = 0
x2 - x3 = 0
```
系数矩阵为：
```text
[1-1 0]
[0 1-1]
```
这个矩阵已经是行最简形。
| 变量类别 | 具体变量 | 关系 |
|---|---|---|
| 主变量 | x1、x2 | 用自由变量表示 |
| 自由变量 | x3 | 设为参数 t |
从方程组得到：
```text
x2 = x3 = t
x1 = x2 = t
```
所以解向量为：
```text
[x1] [t] [1]
[x2] = [t] = [1] t
[x3] [t] [1]
```
这里变量总数是3，主变量个数是2，自由变量个数是1。基础解系由一个向量构成：
```text
[1]
[1]
[1]
```
结果确认清单
| 检查点 | 确认方式 |
|---|---|
| 向量个数 | 基础解系向量个数与自由变量个数相同 |
| 是否满足方程组 | 每个向量都能代回原方程组成立 |
| 是否彼此独立 | 这些向量彼此独立 |
| 是否能生成全部解 | 通解公式包含全部任意常数 |
通用写法
如果自由变量个数是 k，基础解系有 k 个向量：
```text
x = c1ξ1 + c2ξ2 + ... + ckξk
```
其中 c1、c2、...、ck 是任意常数，ξ1、ξ2、...、ξk 就是求出来的基础解系。
免责声明：以上内容为线性代数通用方法说明，适合用于学习基础解系的求法。
