【报童模型的推导过程】在运营管理与库存控制中，报童模型（Newsvendor Model）是一个经典的决策工具，用于解决在需求不确定的情况下，如何确定最优订购量的问题。该模型最初由E. J. Capen提出，后来被广泛应用于零售、供应链管理等领域。
一、问题背景
报童模型的核心问题是：一个报童每天需要决定订购多少份报纸，使得在考虑成本和收益的前提下，期望利润最大化。由于报纸的需求具有不确定性，如果订购过多，会导致剩余报纸无法售出，产生成本；如果订购过少，则可能错失销售机会，损失潜在利润。
二、基本假设
1. 需求是随机变量：需求服从某个已知的概率分布（如正态分布、均匀分布等）。
2. 单位成本固定：每份报纸的采购成本为 $ c $。
3. 售价固定：每份报纸的售价为 $ p $。
4. 残值固定：未售出的报纸可以以 $ v $ 的价格回收或销毁。
5. 目标函数为期望利润最大化。
三、数学建模
设：
- $ Q $：订购数量
- $ D $：实际需求（随机变量）
- $ p $：售价
- $ c $：采购成本
- $ v $：残值
- $ \pi(Q) $：利润函数
利润函数可表示为：
$$
\pi(Q) =
\begin{cases}
pD - cQ, & \text{当 } D \leq Q \\
pQ - cQ + v(D - Q), & \text{当 } D > Q
\end{cases}
$$
简化后：
$$
\pi(Q) = pD - cQ + (v - p)\max(0, D - Q)
$$
期望利润为：
$$
E[\pi(Q)] = E[pD - cQ + (v - p)\max(0, D - Q)
$$
即：
$$
E[\pi(Q)] = pE[D] - cQ + (v - p)E[\max(0, D - Q)
$$
四、最优订购量的确定
为了最大化期望利润，我们对 $ E[\pi(Q)] $ 关于 $ Q $ 求导并令其为零。
定义：
- $ F(Q) $：需求分布函数，即 $ P(D \leq Q) $
- $ f(Q) $：需求概率密度函数（若为连续分布）
则有：
$$
E[\max(0, D - Q)] = \int_Q^\infty (d - Q)f(d) \, dd
$$
对期望利润求导：
$$
\frac{d}{dQ} E[\pi(Q)] = -c + (v - p)(1 - F(Q))
$$
令导数为零，解得：
$$
-c + (v - p)(1 - F(Q^)) = 0
$$
整理得：
$$
F(Q^) = \frac{p - c}{p - v}
$$
这就是报童模型的最优订购量公式。
五、关键参数解释
| 参数 | 含义 | 公式 |
| $ Q^ $ | 最优订购量 | $ F^{-1}\left(\frac{p - c}{p - v}\right) $ |
| $ p $ | 售价 | — |
| $ c $ | 成本 | — |
| $ v $ | 残值 | — |
| $ F(Q) $ | 需求累积分布函数 | — |
六、总结
报童模型通过数学推导得出，在给定需求分布的情况下，最优订购量应满足以下条件：
$$
F(Q^) = \frac{p - c}{p - v}
$$
这一结果体现了“边际成本”与“边际收益”的平衡关系。通过合理设置订购量，可以在不确定的市场需求下实现利润最大化。
表格总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定需求分布 $ F(D) $ |
| 2 | 计算单位成本 $ c $、售价 $ p $、残值 $ v $ |
| 3 | 构建期望利润函数 $ E[\pi(Q)] $ |
| 4 | 对期望利润求导并令其为零，得到最优订购量公式 |
| 5 | 解出 $ Q^ = F^{-1}\left(\frac{p - c}{p - v}\right) $ |
| 6 | 根据实际数据计算具体数值 |
通过以上步骤，报童模型提供了一个系统化的决策方法，帮助企业在面对不确定性时做出合理的库存决策。
