在高等数学的学习过程中，驻点是一个非常重要的概念，尤其在函数极值、单调性分析以及图像绘制等方面有着广泛的应用。那么，什么是驻点？如何求出一个函数的驻点呢？本文将从基本定义出发，逐步讲解驻点的求解方法，并结合实例进行说明。

一、什么是驻点？

在微积分中，驻点（Critical Point）指的是函数的导数为零或导数不存在的点。换句话说，如果一个函数在某一点处的导数等于零，或者该点处导数不存在，那么这个点就被称为驻点。

需要注意的是，驻点并不一定就是极值点，它只是可能成为极值点的一个候选点。因此，在实际应用中，我们还需要进一步判断这些点是否是极大值点或极小值点。

二、如何求驻点？

步骤一：求函数的一阶导数

首先，我们需要对给定的函数求其一阶导数。例如，若函数为 $ f(x) $，则求导得到 $ f'(x) $。

步骤二：令导数等于零，解方程

接下来，将导数设为零，即：

$$

f'(x) = 0

$$

然后解这个方程，得到所有满足条件的 $ x $ 值。这些 $ x $ 值对应的点就是驻点的横坐标。

步骤三：检查导数是否存在不连续点

除了导数为零的情况外，还要注意函数在哪些点上导数不存在。例如，当函数在某点有尖点、垂直切线或断点时，导数可能不存在，这些点也属于驻点的范畴。

三、举例说明

例题1：求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的驻点。

解：

1. 求导：

$$

f'(x) = 3x^2 - 3

$$

2. 令导数为零：

$$

3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1

$$

3. 检查导数是否存在不连续点：

此函数在实数范围内处处可导，没有不可导点。

结论： 函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的驻点为 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $。

四、注意事项

- 驻点不一定是极值点，需进一步验证。

- 在某些情况下，函数可能在区间端点处取得极值，但这些点不属于驻点。

- 对于分段函数或含有绝对值的函数，需特别注意导数是否存在。

五、总结

在高等数学中，求驻点的过程主要包括以下几个步骤：求导、解导数为零的方程、检查导数不存在的点。理解并掌握这一过程，有助于我们更深入地分析函数的性质，如单调性、极值等。

如果你正在学习微积分，不妨多做一些练习题，通过实际操作来加深对驻点的理解和应用能力。

结语：

驻点是函数分析中的重要工具，虽然它的求法看似简单，但在实际问题中却具有深远的意义。希望本文能帮助你更好地掌握驻点的求法，并在今后的学习中灵活运用。