【求函数y tan2x的定义域全过程】在学习三角函数的过程中，理解函数的定义域是非常重要的一步。对于函数 $ y = \tan(2x) $，其定义域指的是使得该函数有意义的所有自变量 $ x $ 的取值范围。由于正切函数在某些点上是不连续的（即无定义），因此我们需要找出这些“不合法”的点，并排除它们。
一、函数的基本性质
正切函数 $ y = \tan(\theta) $ 的定义域是所有实数，除了那些使得 $ \cos(\theta) = 0 $ 的点。也就是说，当 $ \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi $（其中 $ k $ 是整数）时，$ \tan(\theta) $ 无定义。
对于函数 $ y = \tan(2x) $，我们可以将 $ \theta = 2x $ 代入上述条件中，得到：
$$
2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
接下来我们解这个不等式，找出 $ x $ 的取值范围。
二、求解过程
从上面的不等式出发：
$$
2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi
$$
两边同时除以 2：
$$
x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}
$$
这意味着，当 $ x $ 等于 $ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $ 时，函数 $ y = \tan(2x) $ 无定义。
因此，函数 $ y = \tan(2x) $ 的定义域为所有实数，除了这些点。
三、总结
为了更清晰地展示函数 $ y = \tan(2x) $ 的定义域，我们可以将其表示为：
$$
x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}
$$
这表示：所有实数 $ x $，但不包括 $ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $ 这些点。
四、表格展示
| 序号 | 不定义点表达式 | 对应的 $ x $ 值（示例） |
| 1 | $ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $ | $ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots $ |
| 2 | 当 $ k=0 $ | $ x = \frac{\pi}{4} $ |
| 3 | 当 $ k=1 $ | $ x = \frac{3\pi}{4} $ |
| 4 | 当 $ k=-1 $ | $ x = -\frac{\pi}{4} $ |
| 5 | 当 $ k=2 $ | $ x = \frac{5\pi}{4} $ |
五、结论
函数 $ y = \tan(2x) $ 的定义域为所有实数，但要排除以下形式的 $ x $ 值：
$$
x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
这些点是函数图像中的垂直渐近线所在的位置，函数在这些点处没有定义，因此不能取到这些值。
