【一元三次方程的求根公式是什么?】一元三次方程是形如 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。与一元二次方程不同，一元三次方程的求根公式较为复杂，历史上曾引发数学家们的激烈讨论。本文将总结一元三次方程的求根方法，并以表格形式展示其关键步骤和公式。
一、一元三次方程的基本形式
一般形式为：
$$
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0)
$$
为了简化计算，通常会将其化为标准形式（即“降次”）：
$$
t^3 + pt + q = 0
$$
这个过程称为卡尔达诺法（Cardano's method）中的降次，通过变量替换 $ x = t - \frac{b}{3a} $ 实现。
二、求根公式简介
一元三次方程的求根公式被称为卡尔达诺公式，它由意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano）在16世纪提出。该公式可以表示为：
$$
t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}
$$
然后通过回代得到原方程的解。
三、关键步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 将原方程 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 化为标准形式 $ t^3 + pt + q = 0 $ |
| 2 | 计算判别式 $ \Delta = \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 $ |
| 3 | 若 $ \Delta > 0 $：有一个实根和两个共轭复根 |
| 4 | 若 $ \Delta = 0 $：有重根，可能为三个实根或一个实根和一个二重根 |
| 5 | 若 $ \Delta < 0 $：有三个不同的实根（称为“不可约情形”） |
| 6 | 使用卡尔达诺公式计算实根 $ t $，再回代得到 $ x $ |
四、示例计算（简要）
假设方程为 $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $，则：
- 令 $ x = t + 2 $，得 $ t^3 - t = 0 $
- 解得 $ t = 0, 1, -1 $，故原方程的解为 $ x = 2, 3, 1 $
五、注意事项
- 卡尔达诺公式虽然能求出所有解，但在实际计算中可能涉及复数运算。
- 当判别式 $ \Delta < 0 $ 时，使用三角函数法更方便求实根。
- 现代计算工具（如计算器、计算机软件）常采用数值方法求解高次方程。
六、总结
一元三次方程的求根公式是数学史上的重要成就之一，尽管其表达形式复杂，但为后续多项式理论的发展奠定了基础。在实际应用中，结合数值方法和符号计算工具，可以更高效地解决这类问题。
| 名称 | 内容 |
| 方程形式 | $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ |
| 标准形式 | $ t^3 + pt + q = 0 $ |
| 求根公式 | 卡尔达诺公式 |
| 判别式 | $ \Delta = \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 $ |
| 实根数量 | 可能为1个或3个实根 |
通过以上内容，我们可以清晰了解一元三次方程的求根方式及其背后的数学原理。
