在物理学中，转动惯量是一个描述物体围绕某一轴旋转时惯性的量度。对于规则形状的物体，如正方形，我们可以通过积分的方法来推导其转动惯量。
假设有一个边长为a的正方形，其质量均匀分布，总质量为m。我们需要计算这个正方形绕其中心轴（垂直于平面）的转动惯量。
首先，我们将正方形分割成无数个微小的质量元dm。由于正方形的质量是均匀分布的，因此每个质量元的质量可以表示为：
\[ dm = \frac{m}{A} dA \]
其中，\( A = a^2 \) 是正方形的总面积，而 \( dA \) 是面积元素。
接下来，考虑正方形的几何特性，我们可以将正方形放置在直角坐标系中，使其中心位于原点。这样，正方形的四个顶点分别为 \((\pm \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})\)。
对于任意一个质量元 \( dm \)，其位置可以用坐标 \((x, y)\) 表示。根据转动惯量的定义，绕中心轴的转动惯量 \( I \) 可以写为：
\[ I = \int r^2 dm \]
其中，\( r \) 是质量元到旋转轴的距离，对于中心轴来说，\( r^2 = x^2 + y^2 \)。
因此，转动惯量可以进一步表达为：
\[ I = \int (x^2 + y^2) \frac{m}{A} dA \]
为了简化计算，我们将积分区域限制在正方形内部。由于正方形是对称的，我们可以只计算第一象限内的积分，然后乘以4。
在第一象限内，\( x \) 和 \( y \) 的范围都是从0到 \(\frac{a}{2}\)。因此，积分变为：
\[ I = 4 \cdot \frac{m}{A} \int_{0}^{\frac{a}{2}} \int_{0}^{\frac{a}{2}} (x^2 + y^2) dx dy \]
计算这个双重积分需要分别对 \( x \) 和 \( y \) 进行积分：
\[ I = 4 \cdot \frac{m}{A} \left( \int_{0}^{\frac{a}{2}} x^2 dx \cdot \int_{0}^{\frac{a}{2}} dy + \int_{0}^{\frac{a}{2}} y^2 dy \cdot \int_{0}^{\frac{a}{2}} dx \right) \]
分别计算这两个积分：
\[ \int_{0}^{\frac{a}{2}} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{a}{2}} = \frac{a^3}{24} \]
\[ \int_{0}^{\frac{a}{2}} y^2 dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{\frac{a}{2}} = \frac{a^3}{24} \]
\[ \int_{0}^{\frac{a}{2}} dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{a}{2}} = \frac{a}{2} \]
\[ \int_{0}^{\frac{a}{2}} dy = \left[ y \right]_{0}^{\frac{a}{2}} = \frac{a}{2} \]
将这些结果代入，得到：
\[ I = 4 \cdot \frac{m}{A} \left( \frac{a^3}{24} \cdot \frac{a}{2} + \frac{a^3}{24} \cdot \frac{a}{2} \right) \]
\[ I = 4 \cdot \frac{m}{A} \cdot \frac{a^4}{24} \]
\[ I = \frac{m a^2}{6} \]
因此，正方形绕其中心轴的转动惯量为：
\[ I = \frac{m a^2}{6} \]
这就是正方形绕其中心轴的转动惯量的推导过程。
