【分数函数求导公式】在微积分中，分数函数（即分式函数）的求导是常见且重要的内容。掌握其求导公式和方法，有助于更高效地解决实际问题。本文将对常见的分数函数求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
分数函数一般形式为：
$$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $$
其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是关于 $ x $ 的可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $。
对于这种形式的函数，我们通常使用商法则来进行求导。
二、分数函数求导公式
根据商法则，分数函数的导数公式为：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
其中：
- $ u' $ 是 $ u(x) $ 的导数；
- $ v' $ 是 $ v(x) $ 的导数；
- $ v^2 $ 是 $ v(x) $ 的平方。
三、常见分数函数求导示例
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ | 基本形式，应用商法则即可 |
| $ \frac{x}{x+1} $ | $ \frac{(1)(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} $ | 分子导数为1，分母导数为1 |
| $ \frac{x^2}{x^3 + 1} $ | $ \frac{(2x)(x^3 + 1) - x^2(3x^2)}{(x^3 + 1)^2} = \frac{2x^4 + 2x - 3x^4}{(x^3 + 1)^2} = \frac{-x^4 + 2x}{(x^3 + 1)^2} $ | 应用商法则并化简 |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $ | 简化后为 $ \sec^2 x $ |
四、注意事项
1. 分母不能为零：在计算过程中，必须确保 $ v(x) \neq 0 $，否则函数无定义。
2. 先化简再求导：有时可以通过约分或代数变形简化表达式，从而减少计算量。
3. 注意符号变化：特别是在分子部分出现减号时，容易出错，需仔细检查。
五、总结
分数函数的求导是微积分中的基础内容之一，掌握商法则并熟练运用是关键。通过理解其公式结构和实际应用，可以更灵活地处理各种复杂的分式函数问题。建议多做练习题，巩固相关知识。
附：商法则公式回顾
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
这一公式适用于所有可导的分式函数，是求解此类问题的核心工具。
