【求函数的二阶偏导数z x 根号x2+y2(2代表平方)】在数学中，求函数的二阶偏导数是分析多元函数变化率的重要方法。本文将对函数 $ z = x\sqrt{x^2 + y^2} $ 进行详细推导，并总结其一阶与二阶偏导数的结果。
一、函数解析
给定函数为：
$$
z = x\sqrt{x^2 + y^2}
$$
其中，$ x $ 和 $ y $ 是自变量，$ z $ 是因变量。我们需要分别计算该函数关于 $ x $ 和 $ y $ 的一阶偏导数，以及二阶偏导数。
二、一阶偏导数
1. 对 $ x $ 求偏导（$ \frac{\partial z}{\partial x} $）
使用乘积法则和链式法则：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \sqrt{x^2 + y^2} + x \cdot \frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-1/2} \cdot 2x
$$
化简得：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \sqrt{x^2 + y^2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x^2 + (x^2 + y^2)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{2x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}
$$
2. 对 $ y $ 求偏导（$ \frac{\partial z}{\partial y} $）
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-1/2} \cdot 2y = \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}
$$
三、二阶偏导数
1. $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $
对 $ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ 再次对 $ x $ 求导：
设 $ f(x, y) = \frac{2x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} $
使用商数法则或直接展开：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(4x)\sqrt{x^2 + y^2} - (2x^2 + y^2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x^2 + y^2}
$$
化简后得到：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{4x(x^2 + y^2) - x(2x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{4x^3 + 4xy^2 - 2x^3 - xy^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{2x^3 + 3xy^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}}
$$
2. $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $
对 $ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ 对 $ y $ 求导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{x\sqrt{x^2 + y^2} - xy \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x^2 + y^2}
$$
化简得：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{x(x^2 + y^2) - xy^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{x^3 + xy^2 - xy^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{x^3}{(x^2 + y^2)^{3/2}}
$$
3. $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $
对 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 先对 $ x $ 求导再对 $ y $ 求导，或者先对 $ y $ 求导再对 $ x $ 求导，结果一致：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{2x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)
$$
通过求导可得：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2y\sqrt{x^2 + y^2} - (2x^2 + y^2)\cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x^2 + y^2}
$$
化简得：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2y(x^2 + y^2) - y(2x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{2yx^2 + 2y^3 - 2yx^2 - y^3}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{y^3}{(x^2 + y^2)^{3/2}}
$$
四、总结表格
| 偏导数类型 | 表达式 |
| $ \frac{\partial z}{\partial x} $ | $ \frac{2x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ |
| $ \frac{\partial z}{\partial y} $ | $ \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ |
| $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $ | $ \frac{2x^3 + 3xy^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} $ |
| $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $ | $ \frac{x^3}{(x^2 + y^2)^{3/2}} $ |
| $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $ | $ \frac{y^3}{(x^2 + y^2)^{3/2}} $ |
五、结语
通过对函数 $ z = x\sqrt{x^2 + y^2} $ 的偏导数进行系统计算，我们得到了其一阶和二阶偏导数的具体表达式。这些结果可用于进一步的数学分析、物理建模或工程应用，有助于理解函数在不同方向上的变化趋势。
