【一元三次方程求根公式】一元三次方程是形如 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。在数学中，求解这类方程的方法历史悠久，最早由意大利数学家塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia）和卡尔达诺（Gerolamo Cardano）等人发现并推广。本文将总结一元三次方程的求根公式及其应用方法，并以表格形式进行归纳。
一、基本形式与标准转化
一元三次方程的一般形式为：
$$
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
$$
为了便于求解，通常将其转化为标准形式：
$$
t^3 + pt + q = 0
$$
这一步可以通过变量替换实现，即令：
$$
x = t - \frac{b}{3a}
$$
代入原方程后可消去二次项，得到标准形式。
二、求根公式概述
一元三次方程的求根公式称为卡丹公式（Cardano's Formula），其核心思想是通过引入辅助变量，将三次方程转化为一个关于该变量的二次方程，从而求得根。
公式表达如下：
对于标准方程 $ t^3 + pt + q = 0 $，其根为：
$$
t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}
$$
需要注意的是，若判别式 $ \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 < 0 $，则方程有三个实根，但需要用三角函数表示。
三、求根步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 将原方程 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 转化为标准形式 $ t^3 + pt + q = 0 $，通过变量替换 $ x = t - \frac{b}{3a} $ |
| 2 | 计算系数 $ p = \frac{3ac - b^2}{3a^2} $，$ q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} $ |
| 3 | 使用卡丹公式计算 $ t $ 的值 |
| 4 | 根据 $ x = t - \frac{b}{3a} $ 回代，得到原方程的根 |
| 5 | 若判别式 $ \Delta < 0 $，使用三角函数法求实根 |
四、特殊情形说明
| 情况 | 判别式 $ \Delta $ | 根的性质 |
| 1 | $ \Delta > 0 $ | 一个实根，两个共轭复根 |
| 2 | $ \Delta = 0 $ | 有重根，至少两个相等的实根 |
| 3 | $ \Delta < 0 $ | 三个不等的实根（需用三角函数法） |
五、实际应用举例
假设方程为：
$$
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
$$
1. 令 $ x = t + 2 $（因为 $ \frac{b}{3a} = 2 $）
2. 代入后得到：$ t^3 - t = 0 $
3. 解得：$ t = 0, 1, -1 $
4. 回代得：$ x = 2, 3, 1 $
六、总结
一元三次方程的求根公式是数学发展史上的重要成果，虽然公式较为复杂，但在实际应用中具有广泛的用途。理解其推导过程有助于深入掌握代数知识，并在工程、物理等领域中灵活运用。
| 名称 | 内容 |
| 方程类型 | 一元三次方程 |
| 标准形式 | $ t^3 + pt + q = 0 $ |
| 求根公式 | 卡丹公式（Cardano's Formula） |
| 特殊情况 | 判别式决定根的性质 |
| 实际应用 | 工程、物理、计算机科学等 |
以上内容为原创整理，适用于教学、研究及学习参考。
