【y等于x的2次方乘e的x次方求导】在微积分中，求函数的导数是一项基础且重要的技能。对于函数 $ y = x^2 e^x $，我们可以通过乘积法则来求其导数。下面将对该函数进行详细的导数计算，并以加表格的形式展示结果。
一、导数计算过程
给定函数：
$$
y = x^2 e^x
$$
这是一个两个函数的乘积：$ u(x) = x^2 $ 和 $ v(x) = e^x $。根据乘积法则，导数为：
$$
y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
分别求出两个部分的导数：
- $ u(x) = x^2 \Rightarrow u'(x) = 2x $
- $ v(x) = e^x \Rightarrow v'(x) = e^x $
代入乘积法则：
$$
y' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x
$$
可以提取公因式 $ e^x $：
$$
y' = e^x (2x + x^2)
$$
或写成更简洁的形式：
$$
y' = e^x (x^2 + 2x)
$$
二、总结与表格展示
| 步骤 | 内容 |
| 原函数 | $ y = x^2 e^x $ |
| 使用法则 | 乘积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 分解函数 | $ u = x^2 $, $ v = e^x $ |
| 求导 | $ u' = 2x $, $ v' = e^x $ |
| 代入公式 | $ y' = 2x e^x + x^2 e^x $ |
| 简化表达 | $ y' = e^x (x^2 + 2x) $ |
三、注意事项
- 在处理类似 $ x^n e^x $ 的函数时，乘积法则是最常用的方法。
- 导数结果中的 $ e^x $ 是一个常数因子，通常可以作为公共因子提取出来。
- 若需要进一步求高阶导数，可对简化后的表达式继续使用乘积法则。
通过以上步骤，我们可以清晰地看到 $ y = x^2 e^x $ 的导数是如何一步步推导出来的。这种逻辑清晰、结构分明的分析方式有助于理解和掌握微分的基本原理。
