lnx 的定积分求解核心是先用分部积分法求出 lnx 的原函数，再使用牛顿莱布尼茨公式代入上下限做差值运算，lnx 的不定积分原函数是 xlnx 减 x 再加常数 C，所以 lnx 在区间 a 到 b 上的定积分，就等于 b lnb 减 b 减去 a lna 减 a，也就是 b lnb 减 b 减 a lna 加 a。这里有一个关键限制，lnx 定义域要求 x 大于 0，所以定积分上下限必须全部大于 0，如果积分下限等于 0，lnx 在 x 等于 0 处是无界函数，属于反常积分，不能直接套用普通定积分公式，需要用极限方式单独计算。分部积分是求解 lnx 定积分的首选办法，因为 lnx 本身没有直接的积分基本公式，把 lnx 当成 u，把 dx 当成 dv，套用分部积分公式就可以顺利化简，这也是高等数学里面 lnx 定积分最经典的解题思路。

底层原理说明

分部积分通用公式是积分 udv 等于 uv 减去积分 vdu

计算 lnx 定积分的时候，选定 u 等于 lnx，dv 等于 dx

那么 du 等于 x 分之一 dx，v 等于 x

代入分部积分公式，积分 lnx dx 等于 x lnx 减去 积分 x 乘以 x 分之一 dx

后面的积分化简成积分 dx，结果就是 x

所以不定积分结果为 xlnx 减 x 加 C

得到原函数之后，定积分就依靠牛顿莱布尼茨公式，原函数在上限的值减去原函数在下限的值。

标准解题步骤

第一步 确认积分区间全部满足 x 大于 0，排除定义域错误

第二步 使用分部积分求出 lnx 的原函数 Fx 等于 xlnx 减 x

第三步 代入上限 b，计算 Fb 等于 b lnb 减 b

第四步 代入下限 a，计算 Fa 等于 a lna 减 a

第五步 做减法，定积分等于 Fb 减 Fa 等于 b lnb 减 b 减 a lna 加 a

第六步 化简数值，把对数项和常数项合并，算出最终数值结果

例题演示

求 lnx 从 1 到 e 的定积分

原函数 Fx 等于 xlnx 减 x

上限 e Fe 等于 e lne 减 e，lne 等于 1，所以 Fe 等于 e 减 e 等于 0

下限 1 F1 等于 1 乘以 ln1 减 1，ln1 等于 0，所以 F1 等于 0 减 1 等于负 1

定积分等于 Fe 减 F1 等于 0 减负 1 等于 1

反常积分特殊情况

当积分下限是 0，也就是求 lnx 从 0 到 b 的定积分，属于无界反常积分

计算方式是取极限，lim t 趋向 0 正，积分从 t 到 b lnx dx

代入公式得到 lim t 趋向 0 正，b lnb 减 b 减 t lnt 加 t

极限部分 t lnt 在 t 趋近 0 正的时候极限等于 0，所以最终结果等于 b lnb 减 b

这个题型是 lnx 定积分高频易错点，很多同学直接代入 x 等于 0，发现 ln0 无意义，就误以为积分发散，实际这个反常积分是收敛的。

常见题型对照表

注意要点

第一 lnx 定积分里面 lnx 真数必须大于 0，上下限不能出现负数或者 0 作为普通定积分下限

第二 分部积分选 u 优先选 lnx，因为求导之后变成 x 分之一，积分难度明显下降

第三 计算的时候 lne 等于 1 ln1 等于 0，这两个特殊值经常用来简化 lnx 定积分运算

第四 如果题目是定积分带参数，需要讨论参数大于 0 的前提，参数小于 0 的时候 lnx 无定义，积分不存在

【常见问题】

问题 1 lnx 的定积分为什么要用分部积分法求解

回答 1 lnx 的定积分没有现成基本积分表公式，使用分部积分法，把 lnx 设为 u，求导之后变成 x 分之一，可以消除对数项，顺利求出 lnx 定积分对应的原函数，再代入上下限算出 lnx 定积分结果。

问题 2 lnx 定积分下限取 0 的时候为什么不能直接代入

回答 1 lnx 定积分下限取 0 的时候，ln0 没有定义，函数在 x 等于 0 附近无界，属于反常积分，不能像普通 lnx 定积分那样直接代入牛顿莱布尼茨公式，需要借助极限来计算 lnx 定积分。

问题 3 lnx 从 1 到 2 的定积分怎么计算

回答 1 lnx 从 1 到 2 的定积分，先得到原函数 xlnx 减 x，代入上限 2 得到 2ln2 减 2，代入下限 1 得到 1ln1 减 1 等于负 1，做差之后 lnx 定积分结果是 2ln2 减 1。

问题 4 lnx 定积分和 lnx 不定积分是什么关系

回答 1 lnx 定积分是在确定区间上的定值，lnx 不定积分是全部原函数族，求解 lnx 定积分第一步必须先求出 lnx 不定积分得到原函数，再利用牛顿莱布尼茨公式完成 lnx 定积分的上下限差值计算。

【免责申明】

本文内容仅用于高等数学知识点学习讲解，属于理论解题演示，做题请结合题目定义域与反常积分收敛判定要求，本文不替代官方教材，不构成考试之外其他决策依据。