函数 x 乘以 tanx 的原函数，也就是不定积分∫x tanx dx，这个积分属于非初等积分，不能只用多项式 三角函数 对数 反三角函数这些初等函数组合写出闭式表达式，需要借助特殊函数也就是克劳森函数 Clausen 函数来表示，很多同学一开始会尝试分部积分，做到一半就发现后面积分又回到 tanx 相关的复杂形式，无法继续化简成初等表达式，这也是这个积分最核心特点，考试里面如果是普通高数考题，一般不会要求把这个积分完全积成初等结果，大多是考察你能不能判断它属于非初等积分，或者只要求写到分部积分后的中间形式，这里要区分清楚，tanx 本身的原函数是负 lncosx 加常数，但是前面乘上 x 之后，被积函数变成 x tanx，难度直接上升，不再属于可积出初等原函数的类型，推导过程要熟练掌握分部积分公式，理解为什么分部积分之后无法继续化简。

一 基础预备知识

二 分部积分推导过程

分部积分公式是∫u dv = uv - ∫v du

第一步 选定 u 等于 x，dv 等于 tanx dx

第二步 计算 du 等于 dx，同时求 v，也就是 tanx 的原函数，v 等于负 ln cosx

第三步 代入分部积分公式

∫x tanx dx = -x ln cosx + ∫ln cosx dx

到这一步就可以看到，剩下的积分变成∫ln cosx dx，这个积分同样没有初等原函数，需要用克劳森函数表达，∫ln cosx dx = -x ln2 + 0.5 Cl₂(π 减 2x) 再加积分常数 C

把这部分代回，就得到完整原函数表达式

∫x tanx dx = -x ln cosx - x ln2 + 0.5 Cl₂(π 减 2x) + C

三 深度理解为什么不是初等原函数

第一 初等函数乘三角函数，不代表一定可以积成初等函数，像 x tanx x sinx x cosx 里面，x sinx 可以积出初等结果，但是 x tanx 就不行，本质是后面转化出来的 lncosx 积分没有初等闭式。

第二 克劳森函数属于高等特殊函数，定义是级数形式，一般本科高数课程不学习这个函数，所以本科阶段遇到这道题，默认结论就是该积分不能表示为初等原函数。

第三 定义域要注意，tanx 本身有间断点，x 等于 π/2 +kπ 的时候函数无定义，所以原函数只能在对应的连续区间里面成立，不同区间积分常数 C 可以单独取值。

四 解题核验步骤

第一步，识别被积函数是 x 乘以 tanx，优先尝试分部积分，令 u=x dv=tanx dx。

第二步，求出 tanx 原函数负 lncosx，完成第一次分部积分。

第三步，观察剩余积分∫lncosx dx，判断该积分不属于初等积分。

第四步，如果课程只要求分部积分形式，写到负 x lncosx 加上∫lncosx dx 加 C 就可以停止。

第五步，如果要求完整表达式，再引入克劳森函数完成最终原函数书写。

第六步，最后求导验算，对得到原函数求导，验证导数是否等于 x tanx。

综合来看，x tanx 的原函数分部积分之后得到负 x lncosx 加上∫lncosx dx，完整闭式需要克劳森函数，本科高数范畴记住它没有初等原函数这个核心结论，不要强行继续凑初等表达式，避免在考试里面浪费时间。

【常见问题】

问题 1 xatanx 的原函数可以写成初等函数吗

回答 1 xatanx 也就是 x tanx 的原函数，不能写成初等函数，分部积分之后剩下 lncosx 的积分，没有初等闭式，需要特殊函数表达。

问题 2 xatanx 的原函数分部积分第一步怎么选 u 和 dv

回答 2 xatanx 的原函数分部积分，选择 u=x，dv=tanx dx，du=dx，v 等于负 lncosx，代入分部积分公式得到负 x lncosx 加∫lncosx dx。

问题 3 xatanx 的原函数定义域有什么限制

回答 3 xatanx 的原函数，因为 tanx 在 x 等于 π/2+kπ 处无定义，所以原函数只能在各个连续区间内成立，每个区间积分常数 C 可以单独设定。

【免责申明】

本文为高等数学积分推导讲解，不同教材对特殊函数写法记号存在差异，内容仅用于学习参考，考试答题请以任课老师和指定教材要求为准，本文不构成考试答题决策依据。